Buca di potenziale

In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo $0 < x < a$ ; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

V (x) = {\begin{matrix} 0 & 0 < x < a \\ \infty & x < 0; x > a \end{matrix}

costituisce una buca di potenziale infinita^[1], mentre

V (x) = {\begin{matrix} 0 & 0 < x < a \\ V_{0} & x < 0; x > a \end{matrix}

definisce una buca di potenziale finita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Buca di potenziale infinita

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x) .

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato $ψ$ .

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per $x < 0$ , la seconda $0 < x < a$ e la terza per $x > a$ ; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona $x < 0$ e nella zona $x > a$ l'unica soluzione per cui $V (x) \to \infty$ si ha per

ψ (x) = 0, x < 0, x > a .

Nella zona $0 < x < a$ , l'equazione di Schrödinger, per $V (x) = 0$ , coincide con quella di una particella libera:

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) = E ψ (x),

in cui le energie devono essere positive, $E > 0$ , in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che $k^{2} = \frac{2 m E}{ℏ^{2}}$ , in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) = - k^{2} ψ (x)

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi $e^{\pm i k x}$ :

ψ (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x}

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con $E < 0$ . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

ψ (0) = ψ (a) = 0

otteniamo

ψ (x = 0) = A + B = 0

cioè $A = - B$

Inoltre per

ψ (x = a) = A e^{i k a} + B e^{- i k a} = 0

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

k a = n π

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

ψ (x) = 2 A \sin (k x)

dove $k = \frac{n π}{a}$ a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

k^{2} = \frac{n^{2} π^{2}}{a^{2}} = \frac{2 m E}{ℏ^{2}} ⟶ E_{n} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}} n^{2}

Le autofunzioni sono quindi:

ψ_{n} (x) = 2 A_{n} \sin (k_{n} x)

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

\int_{- \infty}^{+ \infty} d x {| ψ (x) |}^{2} = 1 ⟹ \int_{0}^{a} d x 4 {| A_{n} |}^{2} \sin^{2} (k_{n} x) = 1

dalla quale:

2 a {| A |}^{2} = 1

A = \frac{1}{\sqrt{2 a}}

Le autofunzioni normalizzate

ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{n π}{a} x)

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert $ℒ^{2} (0, a)$ , essendo:

\int_{- \infty}^{\infty} ψ_{n}^{*} (x) ψ_{m} (x) d x = δ_{n m}

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

Ψ (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} ψ_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (k x)

dove i coefficienti $c_{n}$ sono dati da:

\int_{- \infty}^{\infty} ψ_{n}^{*} (x) Ψ (x) d x = \sum_{m = 1}^{\infty} c_{m} \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{n}^{*} (x) ψ_{m} (x) d x = c_{n}

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

E = E_{n}

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

⟨ H ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (x) H Ψ (x) d x = \sum_{n} c_{n} E_{n} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (x) ψ_{n} (x) d x = \sum_{n} | c_{n} |^{2} E_{n}

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

i ℏ \frac{\partial Ψ (x, t)}{\partial t} = H Ψ (x, t)

e quindi è:

Ψ (x, t) = \sum_{n} c_{n} e^{- i E_{n} t / ℏ} ψ_{n} (x)

Buca di potenziale finita

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo $x \to - x$ , e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

V (x) = {\begin{matrix} - V_{0} & | x | < a \\ 0 & | x | > a \end{matrix} .

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone $| x | > a$ e $| x | < a$ è del tipo:

{\begin{matrix} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) + | E | ψ (x) = 0 & | x | > a \\ - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) - (V_{0} - | E |) ψ (x) = 0 & | x | < a \end{matrix}

Poiché

V (x) = V (- x),

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

[H, P] = 0

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

λ^{2} = \frac{2 m | E |}{ℏ^{2}}

q^{2} = \frac{2 m (V_{0} - | E |)}{ℏ^{2}}

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

{\begin{matrix} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) - λ^{2} ψ (x) = 0 & | x | > a \\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) + q^{2} ψ (x) = 0 & | x | < a \end{matrix}

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

ψ (x) = {\begin{matrix} e^{i λ x} + B e^{- i λ x} & x < - a \\ C ψ^{+} (x) + D ψ^{-} (x) & - a \leq x \leq a \\ D e^{i λ x} & x > a \end{matrix}

dove le autofunzioni:

ψ^{+} (x) = ψ^{+} (- x)

sono a parità pari, mentre

ψ^{-} (x) = - ψ^{-} (- x)

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

ψ^{+} (x) = {\begin{matrix} B e^{λ x} & x < - a \\ C \cos (q x) & - a \leq x \leq a \\ B e^{- λ x} & x > a \end{matrix}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x = - a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x = a$ :

ψ^{+} (x) = {\begin{matrix} B e^{- λ a} = C \cos (q a) \\ B λ e^{- λ a} = C q \sin (q a) \end{matrix}

da queste due otteniamo:

q \tan (q a) = λ

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

y = q a, y_{0}^{2} = \frac{2 m V_{0} a^{2}}{ℏ^{2}}

da cui:

λ^{2} a^{2} = y_{0}^{2} - q^{2} a^{2} = y_{0}^{2} - y^{2} .

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

\tan y = \frac{\sqrt{y_{0}^{2} - y^{2}}}{y} per y^{2} \leq y_{0}^{2}

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

ψ^{-} (x) = {\begin{matrix} B^{'} e^{λ x} & x < - a \\ C^{'} \sin (q x) & - a \leq x \leq a \\ B^{'} e^{- λ x} & x > a \end{matrix}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x = a$ perché la stessa condizione sia soddisfatta in $x = - a$ :

ψ^{-} (x) = {\begin{matrix} B^{'} e^{- λ a} = - C^{'} \sin (q a) \\ B^{'} λ e^{- λ a} = C^{'} q \cos (q a) \end{matrix}

da queste due otteniamo:

q \cot (q a) = - λ

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

- \cot y = \frac{\sqrt{y_{0}^{2} - y^{2}}}{y} per y^{2} \leq y_{0}^{2}

che possiamo riscrivere nella forma:

\tan y = - \frac{y}{\sqrt{y_{0}^{2} - y^{2}}} per y^{2} \leq y_{0}^{2}

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Ad esempio, per $y_{0} = 6$ , le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

ψ_{E} (x) = {\begin{matrix} e^{- λ | x |} & | x | > a \\ ψ^{+} (x) = \cos (q x) & | x | \leq a \\ ψ^{-} (x) = \sin (q x) & | x | \leq a \end{matrix}

dove $λ$ e $q$ sono definite sopra e legate tra loro.

Note

↑ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su buca di potenziale

Collegamenti esterni

(EN) potential well, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

Portale Quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica

[1] Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

[1]