峰图 | 正态分布或许是一种“动态的平均分布”

一、前言

为什么正态分布（相关链接1，相关链接2）在自然世界中如此普遍？在本文中，「荒原之梦」就尝试从一种“动态的平均分布”的视角来理解正态分布的独特之处.

正态分布是一类广泛存在于我们世界中的概率分布形式，其具有均值（期望）、中位数和众数三者完全相等的统计学性质.

从概率性质上来看，在正态分布中，数据越接近均值，出现的概率高，数据越远离均值，出现的概率越低. 所以，正态分布的概率密度函数呈现出一种中间高，两端低的钟形曲线.

如图 01 所示，就是一维标准正太分布的概率密度函数（PDF）的示意图象，对应的表达式为 $y = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{\frac{-x^{2}}{2}}$:

图 02 所示的是一种平均分布的概率密度函数图象，其特点是，所有数据的出现概率都完全相等：

我们的自然世界整体上是非常稳定的，从概率的角度来看，稳定就意味着各种事件发生的概率没有太大的区别. 但是，很显然，在自然世界中，更常出现的是图 01 所示的正态分布，而不是图 02 所示的平均分布——

那么，为什么这个构建在看上去不稳定的正态分布之上的自然世界，仍然能够保持稳定存在？

事实上，「荒原之梦」认为，正态分布或许是一种“动态的平均分布”.

但是，从上面的图 01 和图 02 可以看到，正态分布和平均分布看上去完全不是同一类的分布，为什么说正态分布或许是一种“动态的平均分布”呢？

我产生正态分布或许是一种“动态的平均分布”这一想法的灵感，和擦眼镜有关：

设想一下，假如我们每天只能擦一次眼镜，那么，如果选择早上的时候擦眼镜，早上的时候眼镜就会很干净，但晚上的时候，眼镜就会很脏，于是，早上和晚上的时候，眼镜的干净程度就会相差很大；如果我们选择在晚上擦眼镜，效果也是类似的：早上和晚上的时候，眼镜的干净程度仍然差别很大.

那么，如果想要一天时间内眼镜的干净程度尽可能差别不大，我们应该选择在什么时候擦眼镜呢？答案就是：中午.

虽然，选择在一天的中间时刻擦眼镜，可以尽可能减少一天中不同时刻眼镜脏的程度的差别，使得眼镜在一天之内脏的程度更趋向于一致，但很显然，如果将眼镜的干净程度看作是事件概率，那么，这个事件概率仍然很像是正态分布，而非平均分布.

但是，自然世界之所以没有因此崩塌的可能的原因就在于：自然世界的时间具有无限可分性.

从动态的时间角度来看，如果将上述擦眼镜的时间跨度从一天的时间，缩短到一个小时、一分钟、一秒钟，甚至更短的时间，虽然每一个时间段内的分布都是平均分布，但从时间的动态视角来看，这个分布竟然表现出了一种平均分布的形式：

也就是说，自然世界中任意时间段的大部分概率事件都倾向于发生于这个时间段的中间时刻.

如图 03 所示，由于在正态分布中，事件出现在正态分布图象“峰顶”的概率最高，因此，如果每一个极小时间区间内的事件发生概率都满足正态分布的话，则这个事件几乎必然只出现在“峰顶”附近，这就使得动态的正态分布看上去就是一种平均分布：

当然，自然世界并不是完全平静的，所以，如图 03 所示的这样的动态的正态分布可能只是更大时间尺度上的另一个或者说另一簇正态分布的一部分，如图 05 所示：

这也就解释了，为什么自然世界不直接使用平均分布，而要使用正态分布，因为自然世界既要保持一定程度的概率稳定性，也要保持一定程度的概率波动性，从而在保持自然世界不崩塌的前提下，使得自然世界具有持续演变的基础.