2022考研数二第08题解析：相似矩阵、相似对角化、特征值

一、题目

»A« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}$

»B« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$

»C« 存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^{-1}$

»D« 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{\top}$

二、解析

根据《线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解》这篇讲义可知，只有相似对角化和正交对角化可以保证矩阵的特征值不发生变化，因此，»A« 选项和 »D« 选项 错误 .

又因为正交对角化只是相似对角化的特例或者说子集，由于“前充分，后必要；小充分，大必要”的性质，所以，»C« 选项的必要性不成立，»C« 选项 错误 .

于是可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必须是可以相似对角化，而 »B« 选项中给出的 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$ 刚好可以推导出 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$, 从而证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，必要性成立.

同时，由题干中给出的三个互不相等的特征值 $1$，$-1$，$0$, 也可以推导出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化的结论，充分性成立.

综上可知，题干的充分必要条件是 »B« 选项.

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