2022考研数二第09题解析：线性方程组、范德蒙行列式

一、题目

»A« 无解

»B« 有解

»C« 有无穷多解或无解

»D« 有唯一解或无解

二、解析

本题中的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是一个非齐次线性方程组，对于非齐次线性方程组解的判断，需要用到该方程组 $n$ 阶系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right)$, 以及该方程组增广矩阵（或称“扩展矩阵”）的秩 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$:

1. 当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一的解；
2. 当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) < n$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有无穷多解；
3. 当 $\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) < \mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right)$ 的时候，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 没有解.

于是——

解法 1：从系数矩阵入手

观察可知，本题中的非线性方程组系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 其实对应于一个范德蒙行列式:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \end{pmatrix}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{pmatrix}
$$

又因为，矩阵的转置操作不会改变行列式的值，即：

$$
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\boldsymbol{A}^{\top}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix}
$$

因此，由范德蒙行列式的计算公式，直接可得：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & a^{2} & b^{2}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right)
\end{aligned}
$$

又因为题目所给的方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵为：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & 2 \\ 1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix}
$$

所以：

1. 当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} \neq 0$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) \neq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\begin{rcases}
a \neq 1 \\
b \neq 1
\end{rcases} \leadsto \begin{cases}
\textcolor{lightgreen}{ a \neq a^{2} } \\
\textcolor{lightgreen}{ b \neq b^{2} }
\end{cases} \\
a \neq b \leadsto \textcolor{lightgreen}{ a^{2} \neq b^{2} }
\end{cases}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
r\left(\boldsymbol{A}\right) = r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right) = 3
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时有唯一解.

2. 当 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 0$ 的时候，有：

$$
\left(a – 1\right) \cdot \left(b – 1\right) \cdot \left(b – a\right) = 0
$$

也就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a = b$

换句话说，就是：

$a = 1$ 或者 $b = 1$ 或者 $a=b=1$

以 $a=b=1$ 为例可知：

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 1
$$

$$
\mathbf{r} \left( \boldsymbol{A}, \boldsymbol{b} \right) = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 4
\end{pmatrix} = \mathbf{r} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} \neq 1
$$

所以：

$$
\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)
$$

因此，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 此时无解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有唯一解，或者无解，»D« 选项 正确 .

解法 2：从增广矩阵入手

直接对方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的增广矩阵 $\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 作初等行变换：

$$
\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & a & a^{2} & 2 \\
1 & b & b^{2} & 4
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & a-1 & a^{2}-1 & 1 \\
0 & b-1 & b^{2}-1 & 3
\end{pmatrix}
$$

于是，分情况讨论可知：

1. 当 $a=1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=1$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) \neq \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$, 该方程组无解；
2. 当 $a=1$, $b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
3. 当 $a\neq 1$, $b=1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
4. 当 $a=b \neq 1$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right)=2$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) < \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)$ 该方程组无解；
5. 当 $a \neq 1$, $b \neq 1$, 且 $a \neq b$ 时，$\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\right)=3$, 该方程组有唯一解.

综上所述，方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解的情况只有两种可能，即：有唯一解或无解，所以，»D« 选项 正确 .

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